ПРОСЛЫВАТЬ

Толковый словарь русского языка Д.Н.Ушакова:

ПРОСЛЫВАТЬ, прослываю, прослываешь. Несов. к прослыть. Самоуверенные люди нередко прослывают умниками.

Новый словарь русского языка под редакцией Т.Ф.Ефремовой:

Прослывать
несов. неперех.
Заслуживать какую-л. репутацию, становиться известным по каким-л. качествам.

Толковый словарь живого великорусского языка В.И.Даля:

ПРОСЛЫВАТЬ, прослыть как или чем, слыть, стать известным, по добру или по худу, заслужить славу, мнение общества. И дураки прослывают разумниками. Как поживешь, так и прослывешь (или послывешь). Прослыли валдайские баранки на весь белый свет! Прослыл пес псом, и кличка ему такова. Прослытие ср. молва, слава о ком.